Artur Gałęski jest absolwentem Uniwersytetu Szczecińskiego, magistrem historii. Po ukończeniu studiów rozpoczął pracę w Specjalnym Ośrodku Szkolno-Wychowawczym w Nowogardzie, a następnie pracował w szkolnictwie publicznym i niepublicznym. W 1999 roku został wicekuratorem w Zachodniopomorskim Kuratorium Oświaty w Szczecinie. W roku 2000 przeszedł do pracy w Ministerstwie Pracy i Polityki Społecznej, gdzie jako doradca wicepremiera i ministra pracy zajmował się sprawami edukacji dzieci i młodzieży niepełnosprawnej. W roku 2002 został wybrany radnym Rady Powiatu Goleniowskiego, gdzie pracował w Komisji Oświaty. W latach 2007-2008 był wiceburmistrzem Nowogardu, a po wygranym konkursie na stanowisko zachodniopomorskiego kuratora oświaty powrócił do pracy w Kuratorium Oświaty w Szczecinie w lutym 2008 roku. Od lipca 2011 r. pełnił obowiązki dyrektora Centralnej Komisji Egzaminacyjnej.